导体与电介质

1. 导体静电平衡与表面受力

静电平衡条件为导体材料内部 $\mathbf E=0$，导体是等势体，净电荷分布在表面。真空中表面外侧：

有电流流过的电阻导体不处于静电平衡，内部可以有 $\mathbf E\ne0$。带电空腔中的真空区域也不能称为“导体内部场为零”。

计算表面电荷自身所受的力，需排除电荷元的自场：

例如半径 $a$、电量 $Q$ 的均匀带电球面，两半球的分离力等于电压力乘投影面积：$F=p_e\pi a^2=Q^2/(32\pi\varepsilon_0a^2)$。

来源：讲义 6 第 9–27 页；复习提纲第 2 页。

2. 空腔、接地与静电屏蔽

移动腔内电荷会改变内表面分布。对固定形状、固定净电量、外界条件不变的孤立壳，外表面总电量和等势边界不变，所以外部场不变。这个结论不要求外壳是球形；但把外部场写成球心点电荷场需要外表面球对称且没有破坏对称性的外源。

接地只保证电势为零，不保证净电量为零。隔离只保证净电荷守恒，不保证电势为零。

来源：讲义 6 第 23–25 页；讲义 7 第 11–12 页；讲义 10 第 7–8 页。

3. 电容、串并联与耐压

按“假设带电 $Q$ → 算 $E$ → 积分求电势差 $U$ → $C=Q/U$”求电容。

串联：$1/C=\sum 1/C_i$，中间节点原本中性时各电容器电量大小相同。并联：$C=\sum C_i$，各支路电压相同。

耐压不能简单相加：串联先算 $Q_{\max}=\min(C_iU_{i,\max})$，再求 $U_{\max}=Q_{\max}\sum_i1/C_i$。并联耐压取各支路最小额定电压。

例：$300\,\mathrm{pF}/50\,\mathrm V$ 与 $200\,\mathrm{pF}/100\,\mathrm V$ 串联，$C=120\,\mathrm{pF}$；允许电量为 $15\,\mathrm{nC}$，总耐压为 $125\,\mathrm V$，不是 $150\,\mathrm V$。

来源：讲义 7 第 13–25、36 页。

4. 极化：从微观到宏观

无极分子主要发生位移极化；有极分子既有位移极化，又有取向极化，后者通常占主导。温度升高时热运动妨碍取向有序，取向极化减弱。

最后一个式子中的 $\mathbf n$ 是从介质指向真空的外法线。两种介质交界，取法线从 1 指向 2，总束缚面电荷为 $(\mathbf P_1-\mathbf P_2)\cdot\mathbf n$。

均匀极化只说明 $\rho_b=0$，通常仍有表面极化电荷。非均匀极化也可能散度为零，不能反推一定存在体极化电荷。完整介质的体、面极化电荷代数和为零。

线性各向同性介质：

$\mathbf E$ 是实际总电场。铁电体有历史依赖和电滞，不能套固定 $\chi_e$。

来源：讲义 7 第 26–35 页；讲义 8 第 4–22 页。

5. 电位移与边界条件

$\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$ 需要合适的本构关系；对固有极化的驻极体，不可直接照搬。$\mathbf D$ 的通量只计自由电荷，不意味着 $\mathbf D$ 的局域值只由自由电荷决定。

法线从介质 1 指向 2：

普通界面电势连续。无自由面电荷时 $D_n$ 连续，而 $E_n$ 一般不连续。定义 $\theta_i$ 为电场与法线夹角时，$\tan\theta_1/\tan\theta_2=\varepsilon_1/\varepsilon_2$。

介质界面平行电场时常可按并联求解；垂直电场且无自由面电荷时常可按串联求解。必须检验全部边界条件，不能只看示意图就把真空场统一除以相对介电常数。

来源：讲义 8 第 23–26 页；讲义 9 第 5–17 页；讲义 10 第 9–19 页；讲义 13 第 4–5 页。

6. 典型极化体与介质球

均匀极化球：$\rho_b=0$，$\sigma_b=P\cos\theta$，内部退极化场 $\mathbf E'=-\mathbf P/(3\varepsilon_0)$；球外等效偶极矩 $\mathbf p=(4\pi R^3/3)\mathbf P$。

沿轴均匀极化的薄圆板，在板内中部 $\mathbf E'\simeq-\mathbf P/\varepsilon_0$；长细棒轴向极化时，中部退极化场趋零。这说明退极化场与形状有关。

介电常数为 $\varepsilon$ 的均匀线性球，置于真空匀强外场 $\mathbf E_0$：

检查 $\varepsilon=\varepsilon_0$ 时不扰动外场；$\varepsilon\to\infty$ 时趋于导体球。

来源：讲义 8 第 13–15 页；讲义 9 第 18–19 页。

7. 唯一性定理与电像法

给定空间的自由电荷、线性介质分布、外边界电势，并给出每个内部导体的电势或净电量后，静电场唯一。若全是法向导数边界条件，电势仍可差一个常数，电场唯一。

证明骨架：假设两组解，作差 $u=U_1-U_2$，差场无自由源。对 $u\varepsilon\nabla u$ 用散度定理，边界项由相同边界条件消失，得到 $\int\varepsilon|\nabla u|^2dV=0$，所以两场相同。

电像法是在待求区域之外放置虚拟电荷，使区域内源项与边界条件完全相同，再用唯一性定理确认等效。

平面情形：

两个相互垂直的接地平面，第一象限的 $q(x,y)$ 需要三个像：$-q(-x,y)$、$-q(x,-y)$、$+q(-x,-y)$。最后一个像用于同时满足两个平面电势为零。

来源：讲义 9 第 20–22 页；讲义 10 第 20–22 页；讲义 11 第 4–17 页；第二次习题课第 1–4 页。

8. 介质平面的像电荷

两半空间介电常数为 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$，真实电荷 $q$ 在区域 1。求区域 1 场时，镜像点放

当 $\varepsilon_2\to\infty$ 时，区域 1 趋于接地导体平面解。普通介质的吸引或排斥取决于 $qq'$ 的符号。

来源：讲义 11 第 7–10 页；第二次习题课第 42–44 页。

9. 本章自测