稳恒电流 · 电磁复习室

1. 电流密度与连续方程

I=\int_S\mathbf j\cdot d\mathbf S,\qquad\mathbf j=nq\mathbf v_d,\qquad\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf j=0.

金属中的载流子是电子， $q=-e$ ，电子漂移方向与约定电流方向相反。速度的大小 $v_d=I/(neS)$ ，与无序热运动速率不同。

稳恒条件： $\partial\rho/\partial t=0$ ，因而 $\nabla\cdot\mathbf j=0$ ，任意闭面净流出电流为零。稳恒不等于没有电荷或没有电场；静止表面电荷可以建立驱动电流的场。

来源：讲义 14 第 5–11 页。

2. 欧姆定律、焦耳定律与微观机制

\mathbf j=\gamma\mathbf E,\qquad R=\frac l{\gamma S},\qquad P=UI=I^2R,\qquad p=\mathbf j\cdot\mathbf E=\gamma E^2.

本站用 $\gamma$ 表示电导率，避免与面电荷密度 $\sigma$ 混淆；原讲义电导率常记为 $\sigma$ 。

本课等飞行时间的经典近似（碰撞前后速度取算术平均）：

\mathbf v_d=-\frac{e\tau}{2m}\mathbf E,\qquad\gamma=\frac{ne^2\tau}{2m}.

这里

\tau

表示相邻两次碰撞间的平均自由飞行时间，系数按讲义 14 第 21–23 页的近似口径书写。电场在碰撞间隔中给电子定向动能，碰撞将有序运动的能量转移到晶格，形成焦耳热。强场使碰撞规律、载流子分布等随场改变，电导率不再是与

E

无关的常数，线性欧姆关系失效。

不均匀截面的导体不能一律用 $l/(\gamma S)$ ，若每个截面可视为等势面且电流近似一维，应积分

R=\int\frac{dl}{\gamma(l)S(l)}.

球形电极半径 $a$ ，外边界半径 $b$ ，均匀导电介质的径向电阻：

R=\frac1{4\pi\gamma}\left(\frac1a-\frac1b\right).

接地到无穷远时

R=1/(4\pi\gamma a)

；半球形电极向半空间均匀散流时，几何系数变为

1/(2\pi\gamma a)

。

来源：讲义 14 第 12–24 页；讲义 15 第 1–3 页。

3. 电源、电动势与端电压

电动势描述非静电力对单位正电荷沿电源内部从负极到正极搬运所作的功：

\mathcal E=\int_-^+\mathbf K\cdot d\mathbf l.

外电路由静电场驱动，电源内部靠非静电力使正电荷逆静电场运动。电动势不是“额外静电势差”。

电源向外供电时，内阻 $r$ 、输出电流 $I$ ： $U=\mathcal E-Ir$ ；开路时 $U=\mathcal E$ ；充电时电流反向，应按所选电流方向重新判断符号。

\mathcal EI=UI+I^2r.

来源：讲义 15 第 8–19 页。

4. 基尔霍夫定律：先选方向，再列方程

节点电流定律来自电荷守恒： $\sum I_{\rm out}=0$ 。回路电压定律来自稳恒电路中静电场无旋性： $\sum\Delta U=0$ 。

沿选定回路经过	电势变化
电阻，沿假设电流方向	$-IR$
电阻，逆假设电流方向	$+IR$
理想电源，从负极到正极	$+\mathcal E$
理想电源，从正极到负极	$-\mathcal E$

若有 $n$ 个节点、 $\ell$ 条支路、图连通，独立节点方程 $n-1$ 个，独立回路 $m=\ell-n+1$ 个。推导用生成树：树上 $n-1$ 条边，每添加一条弦，恰增加一个独立回路。

支路电流法：给每条支路定向 → 列 $n-1$ 个节点方程 → 列 $m$ 个回路方程 → 联立 → 用负号解释反向。节点电势法：选地节点；设沿 $i\to j$ 的电源电势升高为 $\mathcal E_{ij}$ ，则该支路 $V_j-V_i=\mathcal E_{ij}-I_{ij}R$ ，所以 $I_{ij}=(V_i-V_j+\mathcal E_{ij})/R$ 。据此在各独立节点列电流守恒方程。

检查：每个节点的流入流出相等；总电源输出功率等于总电阻耗散功率；不要把无元件导线中间的折点当新节点。

来源：讲义 15 第 20–26 页；讲义 16 第 1–3 页；复习提纲第 4 页。

5. 导电介质的稳恒综合求解

静电平衡导体内部 $E=0$ ；导电介质有稳恒电流时，内部通常 $E\ne0$ 。基本方程为

\nabla\times\mathbf E=0,\qquad\nabla\cdot\mathbf j=0,\qquad\mathbf j=\gamma\mathbf E,

也就是

\nabla\cdot(\gamma\nabla U)=0

。

界面上没有持续电荷积累时：

E_{1t}=E_{2t},\qquad j_{1n}=j_{2n}.

此时不要求 $D_n$ 连续。自由面电荷会在建立稳态时积累，最终满足

\sigma_f=D_{2n}-D_{1n},\qquad\sigma_{\rm total}=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n}),

法线均从 1 指向 2。先按电导率求

E,j

，再用介电常数求

D

和自由电荷，最后区分总电荷与束缚电荷。

来源：讲义 16 第 5–12 页。

6. 完整算例：两层漏电介质

两层介质厚度 $d_1,d_2$ 、电导率 $\gamma_1,\gamma_2$ 、介电常数 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ ，法线方向沿电场从 1 到 2，端电压为 $U>0$ ，忽略边缘效应。

先由连续性和欧姆定律得 $j_1=j_2=j$ ， $E_i=j/\gamma_i$ ；再由电压约束 $U=E_1d_1+E_2d_2$ 得

j=\frac{U}{d_1/\gamma_1+d_2/\gamma_2},\quad E_i=\frac{j}{\gamma_i},\quad R=\frac1S\left(\frac{d_1}{\gamma_1}+\frac{d_2}{\gamma_2}\right).

\sigma_f=j\left(\frac{\varepsilon_2}{\gamma_2}-\frac{\varepsilon_1}{\gamma_1}\right),\quad\sigma_{\rm total}=\varepsilon_0j\left(\frac1{\gamma_2}-\frac1{\gamma_1}\right),\quad\sigma_b=\sigma_{\rm total}-\sigma_f.

若 $\gamma_1=\gamma_2$ ，总面电荷为零，但当 $\varepsilon_1\ne\varepsilon_2$ 时，自由面电荷仍可非零；束缚面电荷与之抵消。若 $\varepsilon_1/\gamma_1=\varepsilon_2/\gamma_2$ ，自由面电荷为零。

来源：讲义 16 第 10–12、16–17 页。

7. 类比法与非欧姆补充

相同几何边界下，将静电问题的 $(\mathbf D,\mathbf E,Q,\varepsilon)$ 分别对应稳恒散流的 $(\mathbf j,\mathbf E,I,\gamma)$ 。均匀材料中对应电容 $C$ 与电阻 $R$ 满足 $RC=\varepsilon/\gamma$ 。类比用于求场；求实际自由电荷时必须回到实际介电常数。

对空间电荷限制电流的特定一维模型，若 $v=\mu E$ 、单一载流子、忽略扩散且注入端 $E(0)=0$ ，有

j=\rho\mu E,\quad\frac{dE}{dx}=\frac\rho\varepsilon\Rightarrow E\frac{dE}{dx}=\frac j{\varepsilon\mu}.

积分再对电场沿长度

L

积分得

j=\frac98\frac{\varepsilon\mu U^2}{L^3}.

这是讲义的非欧姆例题，不能将“内部电荷密度处处均匀”同时作为条件；实际

\rho(x)

由方程确定。

来源：讲义 15 第 6–7 页；讲义 16 第 13–20 页。

8. 本章自测

自测｜均匀铜棒的电阻、漂移速度与热功率？

长 $l$ 、截面 $S$ 、电导率 $\gamma$ 、电子数密度 $n$ 、电流 $I$ ： $R=l/(\gamma S)$ ， $v_d=I/(neS)$ ， $P=I^2l/(\gamma S)$ 。电子漂移方向与电流相反。

自测｜6 条支路、4 个节点，需要多少独立回路方程？

连通电路中， $m=\ell-n+1=6-4+1=3$ 。另有 $n-1=3$ 个独立节点方程，共 6 个方程对应 6 个支路电流。

自测｜稳恒导电介质界面应该优先令

D_n

还是

j_n

连续？

令 $j_n$ 连续，表示不再持续积累电荷。 $D_n$ 可不连续，其跃变正是已积累的自由面电荷密度。纯绝缘介质且界面无自由电荷时，才由 $\sigma_f=0$ 推出 $D_n$ 连续。

自测｜两层漏电介质电导率相同，介电常数不同，界面总电荷为零吗？

法向串联的一维稳态中， $E_1=E_2$ ，所以总面电荷为零；但自由面电荷为 $(\varepsilon_2-\varepsilon_1)E$ ，通常不为零，束缚面电荷正好抵消它。

自测｜埋在无限均匀介质中的球电极接地电阻怎样推导？

半径 $a$ ，球面上 $j(r)=I/(4\pi r^2)$ ，故 $E=j/\gamma$ 。从 $a$ 到无穷远积分得 $U=I/(4\pi\gamma a)$ ，所以 $R=1/(4\pi\gamma a)$ 。半空间半球电极应把 $4\pi$ 改为 $2\pi$ 。

自测｜稳恒电流为什么还可以有静电场？

稳恒条件只要求电荷分布不随时间变，并不要求电荷密度为零。稳定的表面或界面电荷建立静电场；电子在场中漂移，电源持续提供能量，电流可以稳恒。

练本章自测