公式速查 · 电磁复习室

1. 符号与常数

$U$ 表示电势或电势差， $W$ 表示能量； $\rho_f,\sigma_f$ 为自由电荷密度， $\rho_b,\sigma_b$ 为束缚电荷密度； $\gamma$ 为电导率（原讲义常记 $\sigma$ ）， $\varepsilon$ 是绝对介电常数。

k=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\simeq8.99\times10^9,\quad\varepsilon_0\simeq8.854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m},\quad e\simeq1.602\times10^{-19}\,\mathrm C.

1\,\mathrm{eV}=1.602\times10^{-19}\,\mathrm J.

\mathbf E=k\int\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}dq',\quad U=k\int\frac{dq'}{|\mathbf r-\mathbf r'|},\quad\mathbf E=-\nabla U.

\oint\mathbf E\cdot d\mathbf S=Q_{\rm total}/\varepsilon_0,\quad\oint\mathbf E\cdot d\mathbf l=0.

U_B-U_A=-\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\quad A_{A\to B}=q(U_A-U_B).

分布	常用结果
点电荷	$E_r=kq/r^2$ ， $U=kq/r$
无限长线	$E_r=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$
无限大均匀非导体面	$
均匀球体内部	$\mathbf E=\rho\mathbf r/(3\varepsilon_0)$
偏心球腔	$\mathbf E=\rho\mathbf a/(3\varepsilon_0)$
圆环轴线	$U=kQ/\sqrt{R^2+z^2}$ ， $E_z=kQz/(R^2+z^2)^{3/2}$
偶极远场	$U=k(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})/r^2$ ， $\mathbf E=k[3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p]/r^3$

E_{\rm material}=0,\quad E_{{\rm out},n}=\sigma/\varepsilon_0,\quad p_e=\sigma^2/(2\varepsilon_0).

C=Q/U,\quad C_{\rm plate}=\varepsilon S/d,\quad C_{\rm sphere}=4\pi\varepsilon ab/(b-a),\quad C_{\rm coax}=2\pi\varepsilon L/\ln(b/a).

C_\parallel=\sum_iC_i,\quad\frac1{C_{\rm series}}=\sum_i\frac1{C_i},\quad Q_{\max,\rm series}=\min_i(C_iU_{i,\max}).

\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P,\quad\mathbf P=(\varepsilon-\varepsilon_0)\mathbf E\ \text{（线性各向同性）}.

\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P,\quad\sigma_b=\mathbf P\cdot\mathbf n_{\rm outward},\quad\oint\mathbf D\cdot d\mathbf S=Q_f.

两介质界面法线从 1 指向 2：

E_{2t}=E_{1t},\quad D_{2n}-D_{1n}=\sigma_f,\quad\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n})=\sigma_{\rm total}.

面积分区 $C=\sum\varepsilon_iS_i/d$ ；厚度分层、无自由界面电荷时 $C=S/(\sum d_i/\varepsilon_i)$ 。

问题	公式与前提
接地平面	像 $-q$ ，镜像位置； $F=q^2/(16\pi\varepsilon_0h^2)$ 吸引
平面感应密度	$\sigma(s)=-qh/[2\pi(s^2+h^2)^{3/2}]$
接地球外 $d>R$	$q'=-qR/d$ ，像距球心 $R^2/d$
孤立带电球 $Q$	在接地球配置上，于球心再放 $Q-q'$
介质平面区域 1	$q'=q(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$
均匀极化球	$\sigma_b=P\cos\theta$ ， $\mathbf E'=-\mathbf P/(3\varepsilon_0)$
介质球置于真空匀强外场	$\mathbf E_{\rm in}=3\varepsilon_0\mathbf E_0/(\varepsilon+2\varepsilon_0)$

W_{\rm point,int}=\sum_{i<j}kq_iq_j/r_{ij},\quad W_{\rm ext}=\int\rho U_{\rm ext}dV,\quad W_{\rm dipole}=-\mathbf p\cdot\mathbf E.

W_{e0}=\frac12\int\varepsilon_0E^2dV,\quad W_{\rm pol}=\frac12\int\mathbf P\cdot\mathbf E\,dV,\quad W_e=\frac12\int\mathbf D\cdot\mathbf E\,dV.

W_{\rm capacitor}=\frac{Q^2}{2C}=\frac12QU=\frac12CU^2.

F_x\big|_Q=-\left(\frac{\partial W_e}{\partial x}\right)_Q=\frac{Q^2C'}{2C^2},\qquad F_x\big|_U=+\left(\frac{\partial W_e}{\partial x}\right)_U=\frac12U^2C'.

W_{\rm grounded\ plane}=-q^2/(16\pi\varepsilon_0h),\quad w_{\rm hysteresis}=\oint E\,dP.

能量密度 $\mathbf E\cdot\mathbf D/2$ 和电容的三种储能等式用于线性无损耗体系。固定外源的外场势能没有 $1/2$ ；接地感应体系的感应部分有 $1/2$ 。

I=\int\mathbf j\cdot d\mathbf S,\quad\mathbf j=nq\mathbf v_d,\quad\partial_t\rho+\nabla\cdot\mathbf j=0,\quad\mathbf j=\gamma\mathbf E.

R=l/(\gamma S),\quad R=\int dl/(\gamma S),\quad p=\mathbf j\cdot\mathbf E,\quad\gamma=ne^2\tau/(2m).

U=\mathcal E-Ir\ \text{（放电）},\quad\sum I=0,\quad\sum\Delta U=0,\quad m=\ell-n+1.

两层一维稳恒漏电介质，法线从 1 指向 2：

j=\frac U{d_1/\gamma_1+d_2/\gamma_2},\quad E_i=j/\gamma_i,\quad\sigma_f=j(\varepsilon_2/\gamma_2-\varepsilon_1/\gamma_1).

\sigma_{\rm total}=\varepsilon_0j(1/\gamma_2-1/\gamma_1),\quad\sigma_b=\sigma_{\rm total}-\sigma_f.

什么体系？什么约束？什么边界？问哪种能量？

写出这四项，通常就能避开：导体与介质混淆、恒压与恒荷混淆、 $D_n$ 与 $j_n$ 连续混淆、总静电能与宏观静电能混淆。

来源：各式推导与页码见对应章节；本页是速查，不替代适用条件。