真空中的静电场 · 电磁复习室

1. 电荷、库仑定律与叠加

电荷守恒说的是孤立系统的电荷代数和不变，不是正、负电荷各自不变。库仑定律适用于真空中的静止点电荷；有限带电体需要逐元积分，不能把总电荷直接塞到质心上。

\mathbf E(\mathbf r)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\,dq',\qquad dq'=\rho\,dV'=\sigma\,dS'=\lambda\,dl'.

这里三个电荷元表达式按体、面、线分布分别使用。先固定场点 $\mathbf r$ ，再让源点 $\mathbf r'$ 遍历带电体。只有分量才能直接相加，不能把场强大小一律相加。

解题次序：画坐标 → 找对称性 → 写 $dq'$ → 写距离与方向 → 积分 → 验证远场和量纲。

来源：讲义 2 第 3–27 页；讲义 3 第 3–16 页。

2. 高斯定理：通量与局域场分开判断

\oint_S\mathbf E\cdot d\mathbf S=\frac{Q_{\rm in}}{\varepsilon_0},\qquad \nabla\cdot\mathbf E=\frac\rho{\varepsilon_0}.

通量只由面内净电荷决定；面上各点的场由全部电荷决定。面外电荷对总通量贡献为零，并不表示它在面上产生的场为零。

高斯定理总成立；用它直接算 $E$ 还需要足够对称性，常见为球对称、无限长柱对称、无限大平面对称。

分布	场强（方向按电荷符号确定）	关键条件
均匀球面，半径 $R$ 、电量 $Q$	内部 $E=0$ ，外部 $E=Q/(4\pi\varepsilon_0r^2)$	非导体球面也成立
均匀实心球，体密度 $\rho$	内部 $E=\rho r/(3\varepsilon_0)$ ，外部等效球心点电荷	球对称
无限长均匀细线	$E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$	有限线不能照搬
无限大均匀非导体薄面	两侧大小 $	\sigma

证明要点：点电荷的通量等于 $q\Omega/(4\pi\varepsilon_0)$ ，包围电荷的闭面所张有向立体角为 $4\pi$ ；再用叠加原理推广。反过来，仅凭通量式不能唯一给出一般场，还需无旋性和边界条件；点电荷球对称情形可从高斯定理恢复库仑场。

来源：讲义 3 第 20–24 页；讲义 4 第 4–22 页。

3. 挖孔法：负电荷叠加

均匀带电大球体密度为 $\rho$ ，挖去完全位于其内部的小球腔；从大球心指向小球心的矢量为 $\mathbf a$ 。将空腔看成补上体密度 $-\rho$ 的球。

\mathbf E=\frac{\rho\mathbf r}{3\varepsilon_0}-\frac{\rho(\mathbf r-\mathbf a)}{3\varepsilon_0}=\frac{\rho\mathbf a}{3\varepsilon_0}.

所以腔内是均匀场。这不是导体屏蔽：材料是保持均匀体电荷分布的带电体，不能套导体内部 $E=0$ 。

来源：讲义 4 第 21–22 页；讲义 7 第 4 页。

4. 环路定理与电势

\oint_L\mathbf E\cdot d\mathbf l=0,\qquad \nabla\times\mathbf E=0,\qquad U_B-U_A=-\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\qquad\mathbf E=-\nabla U.

无旋性使电场力做功与路径无关，因而能引入电势。电势为标量，通常比电场更易叠加。静电场中，连通区域内处处 $\mathbf E=0$ 与电势为常数等价。

U(\mathbf r)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq'}{|\mathbf r-\mathbf r'|}.

这个积分式默认源分布局域、无穷远电势可取零。无限长线、无限大平面不能强行令 $U(\infty)=0$ ，应选有限参考点，只计算电势差。

球对称分段积分时，先写每个区域的 $E(r)$ ，再连续衔接 $U(r)$ 。空腔中没有电场不等于没有电势，例如均匀球壳内部 $U=Q/(4\pi\varepsilon_0R)$ 。

来源：讲义 5 第 3–18 页。

5. 圆环、圆盘与极限检查

均匀圆环半径 $R$ 、电量 $Q$ ，轴线坐标 $z$ ：

U(z)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2+z^2}},\qquad E_z=\frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}.

均匀薄圆盘半径 $R$ 、面密度 $\sigma$ ：

U(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{R^2+z^2}-|z|\right),

E_z(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\operatorname{sgn}z-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\quad(z\ne0).

圆盘面两侧场强有跃变，面上应明确取哪一侧。 $R\to\infty$ 时，场强趋于无限平面的结果，但相对于无穷远的电势本身发散。

圆环中心的陷阱：正电圆环中心在轴线上是电势极大点，但在环平面内是电势极小点，因此是三维鞍点，不能说中心是三维电势极小点。

沿平面内小位移 $x$ ：

U(x,0)\simeq\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\left(1+\frac{x^2}{4R^2}\right),\qquad E_x\simeq-\frac{Qx}{8\pi\varepsilon_0R^3}.

来源：讲义 3 第 11–14 页；讲义 5 第 22–24 页；讲义 6 第 1–2 页。

6. 电偶极子与电偶层

偶极矩 $\mathbf p=q\mathbf l$ 从负电荷指向正电荷，远场条件 $r\gg l$ ：

U=\frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{4\pi\varepsilon_0r^2},\qquad\mathbf E=\frac{3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p}{4\pi\varepsilon_0r^3}.

轴线上场与 $\mathbf p$ 同向，大小 $2p/(4\pi\varepsilon_0r^3)$ ；赤道面与 $\mathbf p$ 反向，大小减半。电势衰减为 $r^{-2}$ ，场衰减为 $r^{-3}$ 。

理想电偶层由相距趋零的等量异号带电面组成，面偶极矩密度 $\pi_s=\sigma l$ 保持有限。它的电势可用有向立体角表达；跨越从负面到正面的方向，电势跃变为 $\pi_s/\varepsilon_0$ 。普通有限面电荷层电势连续，不能把两种模型混为一谈。

来源：讲义 3 第 9–10 页；讲义 5 第 19–21 页；讲义 6 第 3–4 页。

7. 本章自测

自测｜高斯面内净电荷为零，面上电场一定为零吗？

不一定。一个面外点电荷在面上产生非零电场，但总通量为零。高斯定理约束整体通量，不单独确定局域场。

自测｜闭面上场强处处为零，面内一定没有电荷吗？

只能推出面内净电荷为零。面内可以有等量异号电荷，例如完全包住带内部电荷的接地屏蔽结构，外部场为零。

自测｜均匀实心带电球的电势如何分段写？

取 $U(\infty)=0$ 。外部 $U=Q/(4\pi\varepsilon_0r)$ ；内部从表面往内积分： $U(r)=Q(3-r^2/R^2)/(8\pi\varepsilon_0R)$ 。检查 $r=R$ 连续，且 $-dU/dr=Qr/(4\pi\varepsilon_0R^3)$ 。

自测｜均匀带电圆环轴线上哪里场强最大？

对 $z>0$ ， $dE_z/dz$ 与 $R^2-2z^2$ 同号，故 $z=R/\sqrt2$ 。最大值为 $Q/(6\sqrt3\pi\varepsilon_0R^2)$ 。负半轴有对称的场强绝对值极大点。

自测｜均匀带电半球面在球心产生多大场？

半径 $R$ 、正面密度 $\sigma$ 、半球位于 $z>0$ 。环元积分 $dE_z=-\sigma\sin\theta\cos\theta\,d\theta/(2\varepsilon_0)$ ，积分 $0$ 到 $\pi/2$ ，得 $\mathbf E=-\sigma\hat{\mathbf z}/(4\varepsilon_0)$ 。它与 $R$ 无关。对应讲义 3 第 15–16 页。

自测｜怎样检验积分求场的结果？

至少做三项：量纲为 V/m；远场对局域总电量非零的分布应趋近点电荷场；在对称点应有正确方向和零分量。圆盘还应在 $R\to\infty$ 时趋近无限平面场。

练本章自测

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