静电能与静电力 · 电磁复习室

1. 先区分自能、互能与外场势能

点电荷之间的相互作用能：

W_{\rm int}=\sum_{i<j}\frac{q_iq_j}{4\pi\varepsilon_0r_{ij}}=\frac12\sum_iq_iU_{\rm other}(\mathbf r_i).

这里不含理想点电荷的发散自能。

1/2

用于去掉相同电荷对的重复计数。固定外源产生的电势中，一个给定电荷分布的外场势能则为

W_{\rm ext}=\int\rho U_{\rm ext}\,dV,

没有

1/2

，因为只计一次与外源的作用。刚性电偶极子：

W_{\rm ext}=-\mathbf p\cdot\mathbf E,\quad\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E,\quad\mathbf F=(\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E.

力的式子要求偶极矩固定、偶极近似有效，静电场下与

\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf E)

等价。若

\mathbf p=\alpha\mathbf E

是线性感应偶极矩，计入建立偶极矩所需的功后，有效势能是

-\alpha E^2/2

。

来源：讲义 11 第 19–26 页；讲义 12 第 17–19 页；讲义 13 第 19–20 页。

2. 连续分布和典型自能

真空中的连续体、面电荷：

W=\frac12\int\rho U\,dV,\qquad W=\frac12\int\sigma U\,dS.

体元自身作用在连续极限下可积；理想线电荷、点电荷的自能通常发散，不能无条件照搬。

体系	静电能	比较
半径 $R$ 、总电量 $Q$ 的均匀球面	$Q^2/(8\pi\varepsilon_0R)$	导体球的结果
同半径、同电量的均匀实心球	$3Q^2/(20\pi\varepsilon_0R)$	为球面自能的 $6/5$
电容器	$Q^2/(2C)=QU/2=CU^2/2$	线性关系下成立

实心球的组装法：从半径 $r$ 的小球开始逐层加电， $q(r)=Qr^3/R^3$ ， $dq=3Qr^2dr/R^3$ ， $dW=q(r)dq/(4\pi\varepsilon_0r)$ ，积分 $0$ 到 $R$ 即得结果。这里每层只加一次，所以不再额外乘 $1/2$ 。

来源：讲义 12 第 3–11 页；第二次习题课第 18–22 页。

3. 本课特别区分的三种能量

这是本课容易丢分的术语。按讲义记号：

W_e=W_{e0}+W_{\rm pol}.

名称	线性、无损耗介质中的表达式	计入什么
宏观静电能 $W_{e0}$	$\frac12\int\varepsilon_0E^2dV$	自由和束缚电荷形成的宏观电场
极化能 $W_{\rm pol}$	$\frac12\int\mathbf P\cdot\mathbf E\,dV$	介质极化状态所储存的能量
总静电能 $W_e$	$\frac12\int\mathbf D\cdot\mathbf E\,dV$	前两者之和

总静电能也可写成 $\frac12\int\rho_f U\,dV$ ，若有自由面电荷要加入相应面积分。这里 $U$ 由全部电荷产生，但只对自由电荷加权。

均匀各向同性介质中， $w_e=\varepsilon E^2/2$ ， $w_{e0}=\varepsilon_0E^2/2$ ， $w_{\rm pol}=(\varepsilon-\varepsilon_0)E^2/2$ 。样题计算第 3 题问“宏观静电能”，答案应使用 $\varepsilon_0$ ，不能直接答总储能 $CU^2/2$ 。

来源：讲义 12 第 12–16、20–28 页；样题解答第 2 页。

4. 场能积分与分区计算

先按高斯定理求每区的 $\mathbf D,\mathbf E$ ，再分别积分能量。球对称时 $dV=4\pi r^2dr$ ，柱对称时 $dV=2\pi rLdr$ ，不要遗漏场存在于物体外的部分。

例：半径 $R$ 的真空球腔里均匀分布自由体电荷 $\rho$ ，腔外为无限均匀介质 $\varepsilon$ 。

E_{\rm in}=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0},\qquad E_{\rm out}=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon r^2}.

W_{e,\rm in}=\frac{2\pi\rho^2R^5}{45\varepsilon_0},\qquad W_{e,\rm out}=\frac{2\pi\rho^2R^5}{9\varepsilon}.

若问腔外“宏观静电能”，则另为

W_{e0,\rm out}=\varepsilon_0W_{e,\rm out}/\varepsilon

。题目只说“静电能”时按本课总能量口径作答。

同轴电容器内的单位长度场能在径向按 $dr/r$ 分布。因此一半能量位于内半径 $a$ 和 $r_*=\sqrt{ab}$ 之间，并非算术中点 $(a+b)/2$ 。

来源：讲义 12 第 23–28 页；第二次习题课第 25–27 页；样题填空第 5 题。

5. 电像法：力可等效，能量要重算

点电荷 $q$ 距接地无限平面 $h$ 。像电荷 $-q$ 在镜面对称位置。

W=\frac12qU_{\rm ind}=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0h}.

直接算真实电荷与像电荷的两点互能，会得到 $-q^2/(8\pi\varepsilon_0h)$ ，多了一倍。原因是感应电荷随真实电荷的建立或移动而改变，像电荷不是独立外源。

拆分物理体系：真实电荷与实际感应面电荷的互能为 $-q^2/(8\pi\varepsilon_0h)$ ；感应面电荷自身的能量为 $+q^2/(16\pi\varepsilon_0h)$ ；两者相加才是上述有限的总能量（排除点电荷自能）。

核查： $F_h=-dW/dh=-q^2/(16\pi\varepsilon_0h^2)$ ，指向平面。多个真实电荷时，真实电荷之间的互能只计一次，感应部分为 $\frac12\sum_iq_iU_{\rm ind}(\mathbf r_i)$ 。

来源：讲义 14 第 2–3 页；第二次习题课第 37–38 页。

6. 能量法求力：固定电荷还是固定电压

设 $x$ 为机械位移， $C=C(x)$ 。必须先确定约束，再对对应能量求偏导。

F_x=-\left(\frac{\partial W_e}{\partial x}\right)_Q=\frac{Q^2}{2C^2}\frac{dC}{dx},

F_x=+\left(\frac{\partial W_e}{\partial x}\right)_U=\frac{U^2}{2}\frac{dC}{dx}.

恒压公式的正号来自电源做功。线性体系恒压时 $dA_{\rm source}=U\,dQ=2dW_e$ ，所以静电力做功为 $dW_e$ 。也可以对含电源的有效势 $W_e-UQ=-CU^2/2$ 取负导数。

平板电容器以间距 $d$ 为坐标， $dC/dd<0$ ，所以 $F_d<0$ ，极板吸引。忽略边缘效应： $|F|=\varepsilon SU^2/(2d^2)$ 。介质被吸入电容器，则应向使 $C$ 增大的方向运动；外力维持准静态平衡时方向相反。

能量变化检查：断电后插入介质， $C$ 增大、 $Q$ 固定、 $W_e$ 减小；接电源插入介质， $U$ 固定、 $W_e$ 增大，两者都可伴随静电力向内做功。

来源：讲义 13 第 10–20 页；第二次习题课第 33–36 页。

7. 非线性介质与电滞损耗

一般准静态充电过程中单位体积的外界功：

da=\mathbf E\cdot d\mathbf D=d(\varepsilon_0E^2/2)+\mathbf E\cdot d\mathbf P.

无损耗且响应单值时，可以沿建立路径积分求储能；不能任意使用 $\mathbf E\cdot\mathbf D/2$ 。铁电体的响应依赖历史，一周损耗为

w_{\rm loss}=\oint E\,dP=\oint E\,dD>0.

横轴 $E$ 、纵轴 $P$ 时，正常被动材料回线按逆时针走；在正向上升场时，极化滞后于电场。回线面积代表每周期单位体积耗散能量，反向走将得到负损耗，不能作为同样被动循环。

来源：讲义 8 第 18 页；讲义 13 第 7–9 页。

8. 本章自测

自测｜三点电荷的互能为什么只有三项？

三组不重复的电荷对为 $(1,2),(1,3),(2,3)$ 。 $W=k(q_1q_2/r_{12}+q_1q_3/r_{13}+q_2q_3/r_{23})$ 。若写为每点电荷乘其他电荷的电势再求和，需乘 $1/2$ 去重。

自测｜均匀介质中总储能与宏观静电能的比值？

在全部有场区域都由同一种线性介质填充时， $W_e/W_{e0}=\varepsilon/\varepsilon_0=\varepsilon_r$ 。分区介质应逐区比较后求和，不能统一乘一个相对介电常数。

自测｜接电源的电容器插入介质，为何储能增加还会吸入介质？

电源释放的能量一部分增加场和极化储能，另一部分转为机械功。恒压下 $dA_{\rm source}=U^2dC$ ， $dW_e=U^2dC/2$ ，静电力做功也是 $U^2dC/2$ 。

自测｜平板电容器断电后将间距增大为两倍，储能和吸引力怎样变？

忽略边缘效应， $Q$ 固定， $C$ 减半， $W_e=Q^2/(2C)$ 加倍； $|F|=Q^2/(2\varepsilon S)$ 不变。不能把固定电压的 $1/d^2$ 关系用在这个过程。

自测｜同轴电容器的一半场能在什么半径内？

从内半径 $a$ 到 $r$ 的能量与 $\ln(r/a)$ 成正比。令 $\ln(r/a)=\frac12\ln(b/a)$ ，得 $r=\sqrt{ab}$ 。来源：第二次习题课实际第 27 页（幻灯片页脚写 28/48）。

自测｜电滞损耗公式中的闭路积分为什么不为零？

极化有历史依赖， $P$ 对 $E$ 不是单值函数；同一 $E$ 下可处于不同的极化状态。走完回线虽然状态恢复，输入功却转为热， $\oint E\,dP$ 等于正的回线面积。

练本章自测

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